Портал Гимназии №1505 ( до 01 сентября 2014)

тит. лист

Работы Д.И.Менделеева в области метрологии

Содержание.

1) Введение…………………………………………………………………2
2) Вступление………………………………………………………………2
3) Вписанная окружность…………………………………………………3
4) Описанная окружность………………………………………………….3
5) Задачи…………………………………………………………………….4

Введение.

Тема моего исследования «решение задач с понятием вписанная и описанная окружность»
Треугольники изучаются на протяжении всего курса планиметрии. Их изучение началось с признаков равенства треугольников, центральное место в нем занимают метрический свойства треугольников, затем идет серия теорем о замечательных «точках треугольника» и в конце курса изучают подобные треугольники. Таким образом треугольники являются как бы тем стержнем, вокруг которого формируется курс элементарной геометрии.
Не смотря на то, что треугольник является почти самой простой фигурой после отрезка, он имеет ряд важных и интересных свойств. И это утверждение я решил взять за основу своей работы. На мой взгляд наиболее интересно и понятно это можно проиллюстрировать, рассмотрев тему «вписанная и описанная окружность».
Цель моего исследования направлена на изучение задач, которые решаются с понятием вписанной и описанной окружности.

Вступление.

Несомненно с самых ранних времен человек пытался постичь точные науки. Не исключением была и математика, однако первые по-настоящему важные достижения принадлежат древнегреческим ученым. Например одному из известнейших древнегреческих ученых- Евклиду. Им были собраны все основы античной математики и объединены в научное произведение под названием «Начала Евклида», написанное в третьем веке до нашей эры. В этом сочинении он подвел итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. Оно состояло из 15 книг и в своей четвертой книге Евклид решает задачу: «вписать круг в данный треугольник».
Окружность- это множество точек плоскости, удаленных от некоторых точек, ее центра на одно и тоже расстояние или радиус. Радиусами так же называют отрезки, соединяющие центр с точками окружности. Хорда- это отрезок, соединяющий любые две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Он вдвое длиннее радиуса и является наибольшим возможным расстоянием между точками окружности.

Вписанная окружность.

Если окружность касается всех трех сторон треугольника то она называется вписанной. В каждый треугольник можно вписать окружность, притом ровно одну. Ее центр- это точка пересечения биссектрис треугольника.
Доказательство:
Пусть окружность W вписана в угол (a,b) с вершиной А. пусть В и С- точки касания окружности с прямыми b и a соответственно. Соединим точки В и С с центром окружности (О). (ОВ) перпендикулярно b (ОС) перпендикулярно a ОВ=ОС=R. Таким образом точка О равноудалена от сторон угла на расстояние, равное радиусу окружности и через нее проходит биссектриса. Теперь построим треугольник АМN. По определению окружность вписана в каждый из углов данного треугольника и центр треугольника лежит на пересечение биссектрис. Следовательно точка О лежит на пересечении всех трех биссектрис. Теорема доказана.
Площадь этого треугольника можно вычислить как произведение его полупериметра на радиус вписанной окружности.

Описанная окружность.

Если все вершины треугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и при том только одну. Ее центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров( у острого треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного- вне треугольника, а у прямоугольного на середине гипотенузы.
Доказательство:
Пусть a и b – серединные перпендикуляры к сторонам AC и BC треугольника ABC, а точка О- точка их пересечения. Из свойств серединного перпендикуляра следует, что АО=ОС=ОВ. Следовательно, тоска О лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ. Таким образом серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, кроме того их точка пересечения равноудалена от вершин треугольника, а следовательно она и является центром описанной окружности. Что и требовалось доказать.
Радиус описанной окружности можно рассчитать по формулам: R=abc/4S = a/2sinL. Где “a,b,c”- стороны треугольника. L- угол лежащий против стороны “a”, p-полупериметр, B-угол лежащий против стороны “b”, C- угол лежащий против стороны “c”.

Задачи.

В треугольнике АБС со сторонами АВ=21, ВС=10, АС=17, вписана окружность в точке с центром О, которая касается боковых сторон АВ и АС в точках М и К. вычислить Площадь четырехугольника АМОК.